中文名称:中国软科学杂志
刊物语言:中文
刊物规格:A4
主管单位:中华人民共和国科学技术...
主办单位:中华人民共和国科学技术...
创刊时间:1986
出版周期:月刊
国内刊号:11-3036/G3
国际刊号:1005-0566
邮发代号:82-451
刊物定价:676.00元/年
出版地:北京
时间:2024-12-22 13:34:00
一、明确推导目的
阐述背景
在理论推导前,要清晰说明推导的原因。若推导新的信号变换公式,需先提及现有变换方法的局限,像传统傅里叶变换分析非平稳信号时无法兼顾时间和频率信息,接着说明新公式在解决特定信号处理问题上的潜在作用,如提升信号滤波精度或加快系统响应速度等。
可这样表述:“在运用传统傅里叶变换分析非平稳信号时,因无法同时呈现时间和频率信息,存在明显不足。故而需推导新的时频分析方法,以更好地处理这类信号。”
引出目标
明确给出推导目标,即最终期望得到的结论或公式。例如:“此部分旨在推导出基于小波包变换的信号能量分布公式,用于精准分析复杂信号在不同频带内的能量占比。”
二、搭建推导框架
梳理相关理论基础
回顾并罗列推导会用到的定理、定律与公式,涵盖信号与系统的基本原理,如线性时不变系统(LTI)的性质(叠加性、齐次性、时不变性)、卷积定理、各类变换(傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换)的定义与性质等。
以推导线性系统输出信号表达式为例,需先列出卷积积分公式(其中为输入信号,是系统冲激响应,为输出信号),以及线性系统叠加性和齐次性的数学表达式。
确定推导步骤的逻辑顺序
将推导过程拆分为若干逻辑步骤,按从简单到复杂、从已知到未知的顺序安排。如推导信号经级联系统的输出,先推导单个系统输出,再依据级联系统特点,以前一系统输出为后一系统输入,逐步推出最终输出表达式。
假设有两个级联的 LTI 系统,冲激响应分别为和,输入信号为。第一步求第一个系统输出,第二步将作第二个系统输入,得最终输出。
三、详细推导过程
公式推导
每个推导步骤要详细写出公式变形过程,包括积分、求和运算,变量替换,利用已知定理化简等操作。
例如推导拉普拉斯变换的卷积定理(其中表示拉普拉斯变换,和是两个信号,和是其对应拉普拉斯变换),从拉普拉斯变换定义和卷积定义入手。
对进行变量替换,令,经积分顺序交换和化简操作,最终得。
推导中每步要写清理由,如 “依积分变量替换定理,令,则,且当时,;当时,”。
符号说明与一致性
对推导所用符号明确定义,并在过程中保持一致。如推导信号频谱密度函数,定义信号为,其傅里叶变换为,这里是时间变量,是角频率变量,,后续推导依此定义使用符号。
若引入新符号,要及时说明含义。如推导中为方便表示中间结果,定义,需解释是与的和,后续涉及的运算遵循此定义。
四、验证推导结果
边界条件验证
检查推导结果在边界或特殊情况是否成立。如信号经滤波器输出公式推导,当输入直流信号(频率为)时,验证输出是否符合滤波器对直流信号特性(如增益为固定值等)。
假设推导高通滤波器输出公式(其中是低通滤波器冲激响应),当(常数直流信号)时,因低通滤波器对直流信号有,可得,符合高通滤波器对直流信号衰减为的特性,验证了此边界条件下推导结果的正确性。
对比已知结论验证
将推导结果与已有且被认可的相似结论对比。若推导新的信号变换方法,与传统变换方法(如特定条件下与傅里叶变换)比较,看能否在特定情况退化为已知变换。
例如新推导的时频分析方法在信号为平稳信号时,应与傅里叶变换在某些方面相似,通过比较两者在平稳信号下的表达式、频谱特性等的一致性,验证新推导结果的合理性。
五、表达推导结论
总结推导结果
完成推导和验证后,简洁概括最终推导结论。重述所得公式、定理或关系式,强调其重要性与应用范围。
例如:“经上述推导,得出信号通过由个线性时不变系统级联而成的复合系统的输出公式。此公式对分析复杂信号处理系统性能,如信号延迟、失真等意义重大,可应用于通信、控制等多领域的信号系统建模与分析。”
指出局限性和未来研究方向
客观指出推导结果可能的局限,如推导假设条件限制、公式适用范围限制等。基于此,提出未来可能的研究方向。
比如:“本次推导所得公式基于系统为线性时不变系统的假设,对非线性或时变系统不适用。未来研究可考虑如何将推导方法拓展至非线性和时变系统,或探索新分析工具处理这类复杂信号系统。”